题目内容
【题目】动圆与
相外切,与
相内切.
(1)求动圆圆心的轨迹
的方程;
(2)是动圆
的半径最小时的圆,倾斜角为
且过点
的直线l与
相切,与轨迹
交于
,
两点,求
的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)根据动圆与
外切,与
内切,由椭圆定义可知,点
的轨迹是以
、
为焦点的椭圆;
(2)由(1)知:要使半径
最小,则
最小,易知
,
则可设直线方程为,根据直线与圆
相切求出参数
的值,即可得到直线方程,最后联立直线与椭圆方程,利用弦长公式计算可得.
解:(1)设动圆的半径为
,则由题可知:
,
∴,
由椭圆定义可知点的轨迹是以
,
为焦点,
长轴为6的椭圆,,
,
,
的轨迹方程为:
(2)由(1)知:要使半径
最小,
则最小,易知
由于,
,圆
的方程为:
又由题可得直线的方程为:
,即
到直线
的距离为:
,
或
(舍去)
∴直线的方程为:
,联立椭圆方程:
消去
整理得:
,设
,
则,
,
∴.
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