[题目]已知直线与抛物线:交于.两点.且的面积为16(为坐标原点).(1)求的方程,(2)直线经过的焦点且不与轴垂直.与交于.两点.若线段的垂直平分线与轴交于点.证明:为定值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（为坐标原点）.

（1）求的方程；

（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，证明：为定值.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）将代入抛物线方程求出两点坐标，由三角形面积可求得，得抛物线方程；

（2）直接设直线的方程为，代入抛物线方程，设，，则可得，由焦点弦长公式得，同时可得中点坐标，写出中垂线方程，求出点坐标及，然后求比值可得．

（1）解：将代入，得，

所以的面积为.

因为，所以，

故的方程为.

（2）证明：由题意设直线的方程为，

由，得.

设，，则，

所以.

因为线段的中点的横坐标为，纵坐标为，

所以线段的垂直平分线的方程为，

令，得，所以的横坐标为，

所以，

故为定值.

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表一：

年份景点排名	2014年	2015年	2016年	2017年	2018年
1	重庆动物园	重庆动物园	龙门阵景区	彩云湖	彩云湖
2	华岩景区	华岩景区	重庆动物园龙	龙门阵景区	黄桷坪涂鸦街
3	巴国城	海兰云天	黄桷坪涂鸦街	华岩景区	重庆动物园