Question

14．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 画出图形，求异面直线CE与BD所成角的余弦，可以想着去求向量$\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{BD}$夹角的余弦，而$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}$，设正四面体ABCD的棱长为2，可求出CE=2，从而得到$cos＜\overrightarrow{CE}，\overrightarrow{BD}＞$=$\frac{\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）•（\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}）}{2\sqrt{3}}$，进行数量积的运算即可求出cos$＜\overrightarrow{CE}，\overrightarrow{BD}＞$，从而可得出异面直线CE与BD所成角的余弦值．

解答 解：如图，
设正四面体的棱长为2，则CE=$\sqrt{3}$；
∴cos$＜\overrightarrow{CE}，\overrightarrow{BD}＞$=$\frac{\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{CE}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）•（\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}）}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}-{\overrightarrow{CB}}^{2}}{4\sqrt{3}}$
=$\frac{2-2+2-4}{4\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$；
∴异面直线CE与BD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 考查用向量的方法求异面直线所成角，清楚正四面体的概念，向量加法的平行四边形法则，以及向量减法的几何意义，向量夹角的余弦公式，向量数量积的运算．