Question

4．如图，四棱锥P-ABCD的地面ABCD是平行四边形，PF⊥平面ABCD，垂足F在AD上，且AF=$\frac{1}{3}$FD，FB⊥FC，FB=FC=2，PF=4，E是BC的中点．
（1）求异面直线EF与PC所成角的大小
（2）求点D到平面PBF的距离．

Answer 1

分析 （1）利用平行关系作出异面直线EF与PC所成的角；
（2）利用几何关系找出点D到PBF的距离

解答 解：（1）在平面ABCD内，过C做CH∥EF，交AD于H，连接PH
则∠PCH（或其补角）就是异面直线EF与PC所成的角
在△PCH中，CH=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{20}$，PH=$\sqrt{18}$，
由余弦定理可得cos∠PCH=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
∴异面直线EF和PC所成的角为arccos$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）∵PF⊥平面ABCD，PF?平面PBA
∴平面PBF⊥平面ABCD
在平面ABCD内过D作DK⊥BF，交BF延长线与K，则DK⊥平面PBF
∴DK的长就是点D到平面PBF的距离
∵BC=2$\sqrt{2}$
∴DF=$\frac{3}{4}$AD=$\frac{3}{4}$BC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∵在△DFK中DK=DFsin45°=$\frac{3}{2}$
∴点D到平面PBF的距离为$\frac{3}{2}$．

点评 此题考查了运用定义法来求异面直线的夹角和点到面的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．