Question

【题目】如图1所示，在梯形中，//，且，，分别延长两腰交于点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2所示．

（1）求证：；

（2）若，，四棱锥的体积为，求四棱锥的表面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）先利用直角三角形和线线平行的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和性质得到线面垂直和线线垂直；（2）分析四棱锥的各面的形状，利用相关面积公式进行求解．

详解：（1）因为∠C＝90°，即AC⊥BC，且DE∥BC，

所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，

又因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC.

因为A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.

又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，

又因为BE 平面BCDE，所以A1F⊥BE．

（2）由已知DE∥BC，且DE＝BC，得D，E分别为AC，AB的中点，

在Rt△ABC中，，则A1E＝EB＝5，A1D＝DC＝4，

则梯形BCDE的面积S1＝×(6＋3)×4＝18，

四棱锥A1—BCDE的体积为V＝×18×A1F＝12，即A1F＝2，

在Rt△A1DF中，，即F是CD的中点，

所以A1C＝A1D＝4，

因为DE∥BC，DE⊥平面A1DC，

所以BC⊥平面A1DC，所以BC⊥A1C，所以，

在等腰△A1BE中，底边A1B上的高为，

所以四棱锥A1—BCDE的表面积为S＝S1＋＋＋＋

＝18＋×3×4＋×4×2＋×6×4＋×2×2＝36＋4＋2．