题目内容
【题目】试比较3-与(n为正整数)的大小,并予以证明.
【答案】见解析
【解析】
利用作差法可得3--=,确定3-与的大小关系等价于比较与2n+1的大小,利用数学归纳法证明即可.
证明:3--=,
于是确定3-与的大小关系等价于比较与2n+1的大小.
由2<2×1+1,<2×2+1,>2×3+1,>2×4+1,>2×5+1,
可猜想当n≥3时,>2n+1,
证明如下:
ⅰ当n=3时,由上可知显然成立.
ⅱ假设当n=k时,>2k+1成立.
那么,当n=k+1时,
=2×>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1,
所以当n=k+1时猜想也成立,
综合ⅰ和ⅱ,对一切n≥3的正整数,都有>2n+1.
所以当n=1,2时,3-<;
当n≥3时,3->(n为正整数).
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