Question

16．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E，F，G分别是B₁C₁，AD₁，D₁E的中点．

（1）求证：FG∥平面AA₁E；
（2）求FG与平面A₁B₁C₁D₁所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明FG∥AE，通过直线与平面平行的判定定理证明FG∥平面AA₁E．
（Ⅱ）取A₁D₁的中点H，连接FH、HG，说明∠FGH为直线FG与平面${A_1}{B_1}{C_1}D_1^{\;}$所成的角，在直角△FGH中，求解tan∠FGH即可．

解答 满分（12分）．
（Ⅰ）证明：∵F为AD₁的中点，且G为D₁E的中点
∴FG为△AED₁的中位线∴FG∥AE----------------------（2分）
又∵FG?平面AA₁E，AE?平面AA₁E，∴FG∥平面AA₁E---------------------（5分）
（Ⅱ）解：取A₁D₁的中点H，连接FH、HG
∵FH为△A₁D₁A的中位线，∴FH∥$AA_1^{\;}$-------------------------------（6分）
又∵$AA_1^{\;}⊥$平面${A_1}{B_1}{C_1}D_1^{\;}$，∴FH⊥平面${A_1}{B_1}{C_1}D_1^{\;}$------------------------------（8分）
∴∠FGH为直线FG与平面${A_1}{B_1}{C_1}D_1^{\;}$所成的角------------（9分）
在直角△AB₁E₁中，A₁E=$\sqrt{{A_1}{B_1}^2+{B_1}{E^2}}$=$\sqrt{5}$
∵GH是△A₁ED₁的中位线，∴GH=$\frac{{{A_1}E}}{2}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$------------------------------（10分）
又∵FH=$\frac{{A{A_1}}}{2}$=1，∴在直角△FGH中，tan∠FGH=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$------------------（11分）
故直线FG与平面${A_1}{B_1}{C_1}D_1^{\;}$所成的角的正切值为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$------（12分）

点评 本题考查空间线面位置关系、角的计算等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化等数学思想．