题目内容

【题目】本小题满分12分,1小问5分,2小问7分

图,椭圆的左、右焦点分别为的直线交椭圆于两点,且

1求椭圆的标准方程

2求椭圆的离心率

【答案】12

【解析】

试题解析:1本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离,因此由椭圆定义可得长轴长,即参数的值,而由,应用勾股定理可得焦距,即的值,因此方程易得;2要求椭圆的离心率,就是要找到关于的一个等式,题中涉及到焦点距离,因此我们仍然应用椭圆定义,设,则,于是有,这样在中求得,在中可建立关于的等式,从而求得离心率.

1由椭圆的定义,

设椭圆的半焦距为c,由已知,因此

从而

故所求椭圆的标准方程为.

2解法一:如图21图,设点P在椭圆上,且,则

求得

,得,从而

由椭圆的定义,,从而由,有

又由,因此

于是

解得.

解法二:如图由椭圆的定义,,从而由,有

又由,因此,

,从而

,知,因此

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