Question

6．正方体的棱长为1，C、D、M分别为三条棱的中点，A、B是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是（　　） 

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 建立的空间直角坐标系，可得平面ABCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（2，-2，1），而M到截面ABCD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$，代入计算即可．

解答 解：建立如图所示的空间直角坐标系，
可得A（0，0，0），B（1，1，0），D（0，$\frac{1}{2}$，1），M（$\frac{1}{2}$，1，0），
∴$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}$，1，0），$\overrightarrow{AD}$=（0，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{AB}$=（1，1，0），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面ABCD的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取y=-2，可得x=2，z=1，
∴$\overrightarrow{n}$=（2，-2，1），
∴M到截面ABCD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{{2}^{2}+（-2）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$
故选：B．

点评 本题考查点到平面的距离，建立坐标系用空间向量来求解是解决问题的关键，属中档题．