题目内容
15．在正项数列{an}中，a1=3，an2=an-1+2（n=2，3，…）（1）求a2，a3的值，判断an与2的大小关系并证明；
（2）求证：|an-2|＜$\frac{1}{4}$|an-1-2|（n=2，3，…）；
（3）求证：|a1-2|+|a2-2|+…+|an-2|＜$\frac{4}{3}$．
分析 （1）由a1=3，an2=an-1+2（n=2，3，…），可得${a}_{2}^{2}$=3+2=5，an＞0，${a}_{2}=\sqrt{5}$，同理可得：a3=$\sqrt{\sqrt{5}+2}$．猜想an＞2．利用数学归纳法证明即可．
（2）an2=an-1+2（n=2，3，…），an＞2．可得$\frac{1}{4}|{a}_{n-1}-2|$=$\frac{1}{4}|{a}_{n}^{2}-4|$=|an-2|×$\frac{1}{4}|{a}_{n}+2|$＞$\frac{1}{4}×（2+2）×|{a}_{n}-2|$=|an-2|，即可证明；
（3）由（1）可得：|an-2|＜$\frac{1}{4}$|an-1-2|（n=2，3，…），可得$|{a}_{2}-2|＜\frac{1}{4}|{a}_{1}-2|$，$|{a}_{3}-2|＜\frac{1}{{4}^{2}}|{a}_{1}-2|$，…，即可证明．
解答 （1）解：∵a1=3，an2=an-1+2（n=2，3，…），
∴${a}_{2}^{2}$=3+2=5，an＞0，
∴${a}_{2}=\sqrt{5}$，同理可得：a3=$\sqrt{\sqrt{5}+2}$．
猜想an＞2．
下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=3＞2成立；
②假设当n=k时，ak＞2，则${a}_{k+1}^{2}$=ak+2＞4，ak+1＞0，
∴ak+1＞2．
因此当n=k+1时，不等式成立．
由①②可得：命题对于?n∈N*，都有an＞2．
（2）证明：∵an2=an-1+2（n=2，3，…），an＞2．
∴$\frac{1}{4}|{a}_{n-1}-2|$=$\frac{1}{4}|{a}_{n}^{2}-4|$=|an-2|×$\frac{1}{4}|{a}_{n}+2|$＞$\frac{1}{4}×（2+2）×|{a}_{n}-2|$=|an-2|，
∴|an-2|＜$\frac{1}{4}$|an-1-2|（n=2，3，…）；
（3）证明：由（1）可得：|an-2|＜$\frac{1}{4}$|an-1-2|（n=2，3，…），
∴|a1-2|+|a2-2|+…+|an-2|
＜|a1-2|+$\frac{1}{4}|{a}_{1}-2|$+$\frac{1}{{4}^{2}}|{a}_{1}-2|$+…+$\frac{1}{{4}^{n-1}}$|a1-2|=$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$＜$\frac{4}{3}$．
点评 本题考查了数列的递推式、不等式的性质、“放缩法”、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | D． | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ |