Question

10．求数列$\frac{1}{1×3}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{5×7}$，…$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$的前n项和．

Answer 1

分析 直接利用裂项相消法求数列的前n项和．

解答 解：由$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
得数列$\frac{1}{1×3}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{5×7}$，…$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$的前n项和为
${S}_{n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了裂项相消法求数列的和，涉及等差数列连续两项乘积倒数构成的数列求和问题常采用裂项相消法，是中档题．