Question

19．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，PA垂直于⊙O所在的平面．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC．
（2）设PA=$\sqrt{3}$，试问C运动到何处时，AC与平面PBC所成的角为$\frac{π}{3}$？（只需求出符合条件时AC的长）

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，知BC⊥AC，由PA⊥BC，知BC⊥平面PAC，由此能够证明平面PAC⊥平面PBC．
（2）过A作AH⊥PC于H，证明AH⊥平面PBC，可得∠ACH为AC与平面PBC所成的角，利用AC与平面PBC所成的角为$\frac{π}{3}$，可得结论．

解答 证明：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
又∵PA⊥BC，
∴PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PCB，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（2）解：过A作AH⊥PC于H，
∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，
∴AH⊥平面PBC，
∴∠ACH为AC与平面PBC所成的角，
Rt△PAC中，tan∠ACH=$\frac{PA}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=1．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．