Question

4．已知命题：“?x∈[-1，1]，使等式m=x²-x成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式（x-a）[x-（2-a）]＜0的解集为N，若N⊆M，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若方程m=x²-x在[-1，1]上有解，即m的取值范围为函数y=x²-x在[-1，1]上的值域，结合二次函数的图象和性质，要得M；
（2）对a的取值进行分类讨论，求出不等式（x-a）[x-（2-a）]＜0的解集为N，结合N⊆M，可得a的取值范围．

解答 解：（1）由题意知，方程m=x²-x在[-1，1]上有解，
即m的取值范围为函数y=x²-x在[-1，1]上的值域，
由函数y=x²-x的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
故当x=$\frac{1}{2}$时，函数最小值为-$\frac{1}{4}$，当x=-1时，函数最大值为2，
故m=[-$\frac{1}{4}$，2]，（5分）
（2）当a=1时，解集N为空集，满足题意；（7分）
当a＞1时，a＞2-a，此时集合N={x|2-a＜x＜a}，则1＜a≤2（10分）
当a＜1时，a＜2-a，此时集合N={x|a＜x＜2-a}，则-$\frac{1}{4}$≤a＜1（13分）
综上：-$\frac{1}{4}$≤a≤2（14分）

点评 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，特称命题，是集合与逻辑的简单综合应用，难度不大，属于基础题．