题目内容

10.设M、N为△ABC内一点,且$\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AN}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{6}{7}$$\overrightarrow{AC}$,则$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△ABN}}$=$\frac{14}{15}$.

分析 先根据题意画出图形,然后根据△ABM与△ABN的面积之比等于高之比,转化成AP与AQ之比,从而求出所求.

解答 解:根据平面向量的基本定理作出对应的图象如图:
则A,M,N三点共线,且AP=$\frac{4}{5}$AC,AQ=$\frac{6}{7}$AC
故△ABM,△ABN面积之比等于高之比,
设EM,FN分别是△ABM,△ABN的高,
则根据三角形相似的性质可知$\frac{EM}{FN}$=$\frac{GM}{GN}$=$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{\frac{4}{5}AC}{\frac{6}{7}AC}$=$\frac{14}{15}$,
则$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△ABN}}$=$\frac{\frac{1}{2}AB•EM}{\frac{1}{2}AB•FN}$=$\frac{EM}{FN}$=$\frac{14}{15}$,
故答案为:$\frac{14}{15}$,

点评 本题主要考查了向量在几何中的应用,解题的关键就是画出图形,同时考查了分析问题的能力,属于中档题.

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