Question

1．数列{a_n}中，a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，a₁=2，则数列{a_n}的前2015项的积等于3．

Answer 1

分析 通过计算出数列前几项的值，判断该数列为周期数列，进而可得结论．

解答 解：∵${a_{n+1}}=\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}$且a₁=2，
∴a₂=$\frac{1+{a}_{1}}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1+2}{1-2}$=-3，
a₃=$\frac{1+{a}_{2}}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1-3}{1+3}$=-$\frac{1}{2}$，
a₄=$\frac{1+{a}_{3}}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
a₅=$\frac{1+{a}_{4}}{1-{a}_{4}}$=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2，
不难发现数列{a_n}是周期数列，
四个为一周期且最前四个乘积为$2×（-3）×（-\frac{1}{2}）×\frac{1}{3}$=1，
∵2015=503×4+3，
∴数列{a_n}前2015项的积为：${1}^{503}×2×（-3）×（-\frac{1}{2}）$=3，
故答案为：3．

点评 本题考查求数列的前n项的乘积，找出其周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．