题目内容

(本小题满分13分)
已知椭圆 .有相同的离心率,过点的直线,依次交于A,C,D,B四点(如图).当直线的上顶点时, 直线的倾斜角为.

(1)求椭圆的方程;
(2)求证:;
(3)若,求直线的方程.

解:(1) .(2)见解析;(3)
本试题主要是考查了椭圆方程的求解,以及利用直线与椭圆的位置关系求解直线的方程,证明线段相等的综合运用。
(1)利用椭圆的几何性质表示得到a,b,c的关系式,从而得到椭圆的方程。
(2)设直线与椭圆方程联系,借助于坐标的关系来证明相等即可。
(3)在第二问的基础上,进一步得到关于直线斜率k的表达式,化简得到直线的方程,
解:(1),因此椭圆的方程为.
(2)当直线垂直轴时,易求得
因此,
当直线不垂直轴时,设
     ①,
    ②,
,则是方程①的解, 是方程②的解.,线段AB,CD的中点重合,
(3).由(2)知,,当直线垂直轴时,不合要求;
当直线不垂直轴时,设,由(2)知,
,,


,化简可得:
  ,
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