题目内容

12.已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.
(1)求f(x)的值域; 
(2)求不等式:f(x)≥x2-3x-1的解集.

分析 (1)通过对自变量x范围的讨论,去掉绝对值符号,利用函数的性质即可求得函数f(x)的值域;
(2)通过对自变量x范围的讨论,去掉绝对值符号,再解相应的二次不等式即可.

解答 解:(1)∵f(x)=|x-2|-|x-5|,
∴当x≤2时,f(x)=2-x-(5-x)=-3;
当2<x<5时,f(x)=x-2-(5-x)=2x-7∈(-3,3);
当x≥5时,f(x)=x-2-(x-5)=3;
综上所述,函数f(x)的值域为[-3,3];
(2)∵|x-2|-|x-5|≥x2-3x-1,
∴当x<2时,x2-3x-1≤-3,
解得1≤x<2;
当2≤x<5时,有x2-3x-1≤2x-7,
解得2≤x≤3;
当x≥5时,有x2-3x-1≤3,
即得x∈Φ,
综上所述,原不等式的解集为{x|1≤x≤3}.

点评 本题考查绝对值不等式的解法,突出考查转化思想与分类讨论思想的综合应用,考查解一元二次不等式的运算能力,属于中档题.

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