题目内容
【题目】从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155 cm到195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)；第二组[160，165)；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（Ⅰ）估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数；
（Ⅱ）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图(用虚线标出高度)；
（III）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求事件“|x－y|≤5”的概率．
【答案】（I）
人；（II）见解析；（III）
．
【解析】
试题分析：（I）由频率分布直方图前五组频率为
，而从后三组频率为
，由此能求出这所学校高三年级全体男生身高在
以上（含
）的人数；（II）由频率分布直方图得第八组频率为
，人数为
，设第六组人数为
，在第七组人数为
，从而求出第六组的人数为
，第七组人数为
，由此能求出其完整的频率分布直方图；（III）由（II）知身高在
内的人数为
，身高在
内的人数为
，由此列举法能求出事件“
”的概率．
试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图得前五组频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9，
这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144．
（II）由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2，设第六组人数为
，则第七组人数为9－2－
＝
，又
，
解得
，所以第六组人数为4，第七组人数为3，
频率分别等于0.08，0.06．
频率/组距分别等于0.016，0.012．
其完整的频率分布直方图如图．
（III）由（II）知身高在[180，185)内的人数为4，设为
，身高在[190，195]内的人数为2，设为A、B，若x，y∈[180，185)时，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种情况；
若x，y∈[190，195]时，有AB共1种情况；
若x，y分别在[180，185)和[190，195]内时，有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共8种情况．
所以基本事件总数为6＋1＋8＝15，事件“
”所包含的基本事件个数有6＋1＝7，
∴
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