Question

【题目】已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)，抛物线E：x2＝2py的焦点为M.

(1)若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；

(2)若直线MF与抛物线C交于A，B两点，求△OAB的面积．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

解：(1)由题意得抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)，抛物线E：x2＝2py的焦点为M，所以p＝2，M(0，1)，

①当直线l的斜率不存在时，x＝0，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx＋1，代入y2＝4x，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当k＝0时，x＝，满足题意，直线l的方程为y＝1；当k≠0时，Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，所以k＝1，方程为y＝x＋1，综上可得，直线l的方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.

(2)结合(1)知抛物线C的方程为y2＝4x，直线MF的方程为y＝－x＋1，

联立得y2＋4y－4＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4，

所以|y1－y2|＝4，

所以S△OAB＝|OF||y1－y2|＝2.