题目内容

【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),抛物线E:x2=2py的焦点为M.

(1)若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点,求直线l的方程;

(2)若直线MF与抛物线C交于A,B两点,求△OAB的面积.

【答案】见解析

【解析】

解:(1)由题意得抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),抛物线E:x2=2py的焦点为M,所以p=2,M(0,1),

①当直线l的斜率不存在时,x=0,满足题意;②当直线l的斜率存在时,设方程为y=kx+1,代入y2=4x,得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,x=,满足题意,直线l的方程为y=1;当k≠0时,Δ=(2k-4)2-4k2=0,所以k=1,方程为y=x+1,综上可得,直线l的方程为x=0或y=1或y=x+1.

(2)结合(1)知抛物线C的方程为y2=4x,直线MF的方程为y=-x+1,

联立得y2+4y-4=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则y1+y2=-4,y1y2=-4,

所以|y1-y2|=4

所以S△OAB|OF||y1-y2|=2.

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