Question

【题目】已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝2an＋ (a，λ∈R)．

(1)若λ＝－2，数列{an}单调递增，求实数a的取值范围；

(2)若a＝2，试写出an≥2对任意的n∈N*成立的充要条件，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)当λ＝－2时，an＋1＝2an－，由题意知an＋1>an，所以an＋1－an＝an－>0，解得an>或－<an<0，所以a1>或－<a1<0.所以实数a的取值范围为

(－，0)∪(，＋∞)．

(2)an≥2对任意的n∈N*成立的充要条件为λ≥－4.

证明如下：必要性：假设an＋1＝2an＋≥2，得λ≥－2a＋2an，令f(n)＝－2·＋，由an≥2，可得f(n)max＝－4，即λ≥－4.

充分性：用数学归纳法证明：显然当n＝1时，a1≥2成立．

假设当n＝k(k≥2)时，ak≥2成立．

当n＝k＋1时，ak＋1＝2ak＋.

令函数f(x)＝2x＋，x∈[2，＋∞)．

①当－4≤λ≤0时，由f′(x)＝2－>0，知f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，所以ak＋1＝2ak＋≥4＋≥2.

②当λ>0时，对x∈[2，＋∞)总有f(x)＝2x＋>4>2，所以ak＋1＝2ak＋>2.

所以当n＝k＋1时，ak＋1≥2成立．

综上可知，当λ≥－4时，对任意的n∈N*，an≥2成立．

故an≥2对任意的n∈N*成立的充要条件是λ≥－4.