题目内容
【题目】已知长方体
，
，
，
，已知P是矩形
内一动点，
与平面所成角为
，设P点形成的轨迹长度为
，则
_________；当
的长度最短时，三棱锥
的外接球的表面积为_____________.
【答案】
【解析】
先确定
与平面
所成角为
,即得
，从而根据弧长公式得
，再根据二倍角正切公式得结果；先确定
的长度最短时P点位置，再确定三棱锥
的外接球的球心，根据
外接圆半径求得球半径，即得球的表面积.
因为长方体
中
平面，
所以与平面所成角为,
因为与平面所成角为
，所以
因为
，所以
从而P点形成的轨迹为以A为圆心，2为半径的圆在矩形内一段圆弧
，设其圆心角为
，则
因此
因为
,所以
最小时，长度最短，此时P为AC与上面圆弧的交点,设外接圆圆心为
，半径为
，
则
设三棱锥的外接球的球心为
，半径为
,
从而
因此球的表面积为
故答案为：；
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