题目内容
【题目】已知函数.
(1)若曲线在
处的切线方程为
,求
的值;
(2)求函数的极值点;
(3)设,若当
时,不等式
恒成立,求
的最小值.
【答案】(1);(2)当
时,
无极值点;当
时,
的极小值点是
,无极大值点;(3)
.
【解析】
(1)先求出函数的导函数,由切点处的导数等于切线的斜率,得到关于、
的一个方程,再由
处的切线方程为
得出切点坐标,由切点在曲线上得到关于
、
的方程,联立关于
、
的方程的两个方程组即可.
(2)先求出导函数,判断函数的单调性,然后根据极值的定义求出即可.
(3)化简得
由不等式
恒成立,转化为
恒成立,只需
,通过讨论
的范围,求出
即可.
(1)由得
由已知可得:即
(2)
所以:当,即
时,
在
上为增函数,无极值点
当,即
时,
则有:当时,
,当
时,
,
在
为减函数,在
上为增函数,
所以,是
极小值点,无极大值点;
综上可知:当时,函数
无极值点,
当时,函数
的极小值点是
,无极大值点
(3)
由题意知:当时,
恒成立
又不等式等价于:
,即
即 ①
①式等价于
由知,
令,则原不等式即为:
又在
上为增函数
所以,原不等式等价于:, ②
又②式等价于,即:
设,
在
上为增函数,在
上为减函数,
又
当
时,
在
上为增函数,在
上为减函数
要使原不等式恒成立,须使,
当时,则
在
上为减函数,
要使原不等式恒成立,须使,
时,原不等式恒成立
综上可知:的取值范围是
,
的最小值为

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