题目内容
【题目】已知函数.
(1)若曲线在处的切线方程为,求的值;
(2)求函数的极值点;
(3)设,若当时,不等式恒成立,求的最小值.
【答案】(1);(2)当时,无极值点;当时,的极小值点是,无极大值点;(3).
【解析】
(1)先求出函数的导函数,由切点处的导数等于切线的斜率,得到关于、的一个方程,再由处的切线方程为得出切点坐标,由切点在曲线上得到关于、的方程,联立关于、的方程的两个方程组即可.
(2)先求出导函数,判断函数的单调性,然后根据极值的定义求出即可.
(3)化简得由不等式恒成立,转化为恒成立,只需,通过讨论的范围,求出即可.
(1)由得
由已知可得:即
(2)
所以:当,即时,在上为增函数,无极值点
当,即时,
则有:当时,,当时,,
在为减函数,在上为增函数,
所以,是极小值点,无极大值点;
综上可知:当时,函数无极值点,
当时,函数的极小值点是,无极大值点
(3)
由题意知:当时,恒成立
又不等式等价于:,即
即 ①
①式等价于
由知,
令,则原不等式即为:
又在上为增函数
所以,原不等式等价于:, ②
又②式等价于,即:
设,
在上为增函数,在上为减函数,
又
当时,在上为增函数,在上为减函数
要使原不等式恒成立,须使,
当时,则在上为减函数,
要使原不等式恒成立,须使,
时,原不等式恒成立
综上可知:的取值范围是,的最小值为
练习册系列答案
相关题目