题目内容

【题目】如图,边长为1的正方形区域OABC内有以OA为半径的圆弧.现决定从AB边上一点D引一条线段DE与圆弧相切于点E,从而将正方形区域OABC分成三块:扇形COE为区域I,四边形OADE为区域II,剩下的CBDE为区域III.区域I内栽树,区域II内种花,区域III内植草.每单位平方的树、花、草所需费用分别为,总造价是W,设

1)分别用表示区域IIIIII的面积;

2)将总造价W表示为的函数,并写出定义域;

3)求为何值时,总造价W取最小值?

【答案】12,定义域为3

【解析】

1)首先用扇形面积公式求出区域I,区域II为两个全等的三角形,所以只需用表示出,即可求出三角形面积,进而求出区域II的面积,区域III用大正方形面积做差即可.2)将单位面积造价分别乘以面积数再求和,即可求出总造价,定义域保证每个角度大于零即可.3)对总造价求导,结合定义域,求出总造价的单调性,则可求出总造价最小时的.

解:(1)如图,

连接OD,则

.

2

,知,所以函数的定义域为

(3)

,得(舍去)

,所以

时, ,函数在上单调递减,

时,,函数在上单调递增,

所以当时,取最小值.

答:时,总造价W取最小值.

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