Question

2．已知抛物线C₁；x²=3y与圆C₂：x²+（y-3）²=1．
（1）求证：圆C₂在抛物线C₁内部；
（2）是否存在直线y=2x+b与圆C₂和抛物线C₁的从左到右的交点为A，B，C，D，使AB=CD？
（3）直线l被圆C₂和抛物线C₁截成长度相等的三部分，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）在圆C₂：x²+（y-3）²=1上取点P（x，y），证明P在抛物线C₁内部即可；
（2）AB=CD，可得线段AD与线段BD的中点重合；
（3）利用AB=BC=CD，可得线段AD与线段BC中点重合，且AD=3BC，即可求直线l的方程．

解答 （1）证明：在圆C₂：x²+（y-3）²=1上取点P（x，y），则x²=1-（y-3）²，
∴3y-x²=y²-3y+8＞0，
∴P在抛物线C₁内部，
∴圆C₂在抛物线C₁内部；
（2）解：直线y=2x+b与圆C₂，联立可得5x²+4（b-3）x+（b-3）²-1=0，两根为x_B，x_C，
直线y=2x+b与抛物线C₁，联立可得x²-6x-3b=0，两根为x_A，x_D，
∵AB=CD，
∴线段AD与线段BD的中点重合，
∴6=-$\frac{4（b-3）}{5}$，
∴b=-$\frac{9}{2}$
b=-$\frac{9}{2}$时，方程x²-6x-3b=0无解，
∴不存在直线y=2x+b与圆C₂和抛物线C₁的从左到右的交点为A，B，C，D，使AB=CD；
（3）解：设直线y=2x+b与圆C₂和抛物线C₁的从左到右的交点为A，B，C，D，
直线y=kx+b与圆C₂，联立可得（1+k²）x²+2k（b-3）x+（b-3）²-1=0，两根为x_B，x_C，
直线y=kx+b与抛物线C₁，联立可得x²-3kx-3b=0，两根为x_A，x_D，
∵AB=BC=CD，
∴线段AD与线段BC中点重合，且AD=3BC，
线段AD与线段BC中点重合，3k=-$\frac{2k（b-3）}{1+{k}^{2}}$，∴k=0或3k²=3-2b；
AD=3BC，可得（x_D-x_A）=3（x_C-x_B），
∴（x_D+x_A）²-4x_Dx_A=9[（x_C+x_B）²-4x_Cx_B]，
k=0时，12b=-36[（b-3）²-1]，∴b=3或b=$\frac{8}{3}$；
3k²=3-2b时，b＜$\frac{3}{2}$，△=4k²（b-3）²-4（k²+1）[（b-3）²-1]=4（3-b）（2b-7）＜0无解，
∴所求直线l的方程为y=3或y=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查圆与抛物线的综合，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，有难度．