题目内容
4.观察下列不等式1+$\frac{1}{{2}^{2}}$<$\frac{3}{2}$,1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$<$\frac{5}{3}$,1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$<$\frac{7}{4}$,…照此规律,第五个不等式为1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$<$\frac{11}{6}$.分析 由已知中不等式1+$\frac{1}{{2}^{2}}$<$\frac{3}{2}$,1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$<$\frac{5}{3}$,1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$<$\frac{7}{4}$,…,分析不等式两边的变化规律,可得答案.
解答 解:由已知中:不等式:
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$<$\frac{3}{2}$,
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$<$\frac{5}{3}$,
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$<$\frac{7}{4}$,
…
归纳可得:第n个不等式为:1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{(n+1)}^{2}}$<$\frac{2n+1}{n+1}$,
当n=5时,第五个不等式为1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$<$\frac{11}{6}$,
故答案为:1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$<$\frac{11}{6}$
点评 本题考查了归纳推理,归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质,(2)从已知某些相同性质中推出一个明确表达的一般性命题.
A. | $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{13}}{2}$ | D. | $\frac{9}{4}$ |
A. | (1,-3),$\sqrt{2}$ | B. | (-1,3),2 | C. | (1,3),2 | D. | (-1,3),$\sqrt{2}$ |