题目内容
11.AC′是正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线,选取正方体的某三条棱的中点M,N,P组成三角形,使△MNP所在的平面垂直于AC′.满足上述条件的不同的△MNP一共有3个.分析 作出图形,利用线面垂直的判定定理进行判断.
解答 解:由题意,连结DB,AC,
∵M,N分别为中点,
∴MN∥BD,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AC⊥BD,
∵AA′⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
∴AA′⊥BD,
∵AA′∩AC=A,
∴BD⊥平面AC′,
∴BD⊥AC′,
∵MN∥BD,
∴AC′⊥MN,
同理可证AC′⊥MF,AC′⊥NF,
∵MF∩NF=F,MF?平面MNF,NF?平面MNF,
∴AC′⊥平面MNF,故①正确.
④中由①中证明可知AC′⊥MP,
∵MN∥BD,BD⊥AC′,
∴AC′⊥MN,
∴AC′⊥平面MNP,
同理可证明⑤中AC′⊥平面MNP,
∴满足上述条件的不同的△MNP一共有3个.
故答案为:3.
点评 本题主要考查了线面垂直的判定定理.考查了学生空间思维能力和观察能力.
练习册系列答案
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A. | [$\frac{π}{4}$,2π] | B. | [0,$\frac{π}{4}$] | C. | [-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{4}$] | D. | [0,$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{7π}{4}$,2π] |
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A. | 125 | B. | 200 | C. | 225 | D. | 275 |