Question

【题目】已知定义域为的函数是奇函数，其中为实数.

（1）求实数的值；

（2）用定义证明在上是减函数；

（3）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）由定义域为，且利用奇函数的性质，再找一组互为相反数代入得到另外一个方程，解出的值；（2）用定义设，然后计算的正负来判断函数单调性；（3）若，根据是单调递减的奇函数，进行移项变形，列出和的不等式，进而求得实数的取值范围。

（1）∵是上的奇函数，所以.故，可得.

又，解得.

经检验，当且时，，满足是上的奇函数.

（2）由（1）得.任取实数，且，

则.

∵，∴，且∴，即，

∴函数在上是减函数.

（3）由（1）和（2）知，不等式恒成立，

即恒成立，

故对任意的恒成立，

即对任意的恒成立.

令，易知当时，取得最大值8，∴

故实数的取值范围是