题目内容
【题目】如图,四棱锥中,底面
是菱形,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)若,
,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)通过菱形的性质证得,通过等腰三角形的性质证得
,由此证得
平面
,从而证得平面
平面
.
(2)方法一通过几何法作出二面角的平面角,解三角形求得二面角的余弦值.方法而通过建立空间直角坐标系,利用平面
和平面
的法向量,计算出二面角的余弦值.
(1)证明:记,连接
.
因为底面是菱形,
所以,
是
的中点.
因为,所以
.
因为,
所以平面
.
因为平面
,所以平面
平面
.
(2)因为底面是菱形,
,
,
所以是等边三角形,即
.
因为,所以
.
又,
,所以
,
即.
方法一:因为是
的中点,所以
,
因为,所以
,
所以和
都是等腰三角形.
取中点
,连接
,则
,且
,
所以是二面角
的平面角.
因为,且
,
所以.
因为,
,
所以.
所以二面角的余弦值为
.
方法二:如图,以为坐标原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
所以,
,
.
设平面的法向量为
由,得
,
令,得
.
同理,可求平面的法向量
.
所以
.
所以,二面角的余弦值为
.
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练习册系列答案
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【题目】随着西部大开发的深入,西南地区的大学越来越受到广大考生的青睐,下表是西南地区某大学近五年的录取平均分高于省一本线分值对比表:
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
录取平均分高于省一本线分值 | 28 | 34 | 41 | 47 | 50 |
(1)根据上表数据可知,与
之间存在线性相关关系,求
关于
的线性回归方程;
(2)假设2020年该省一本线为520分,利用(1)中求出的回归方程预测2020年该大学录取平均分.
参考公式:,