题目内容
【题目】已知定点,
,直线
、
相交于点
,且它们的斜率之积为
,记动点
的轨迹为曲线
。
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线与曲线
交于
、
两点,是否存在定点
,使得直线
与
斜率之积为定值,若存在,求出
坐标;若不存在,请说明理由。
【答案】(1) ;(2) 存在定点
,见解析
【解析】
(1)设动点,则
,利用
,求出曲线
的方程.
(2)由已知直线过点
,设
的方程为
,则联立方程组
,
消去得
,设
,
,
,
利用韦达定理求解直线的斜率,然后求解指向性方程,推出结果.
解:(1)设动点,则
,
,
,即
,
化简得:。
由已知,故曲线
的方程为
。
(2)由已知直线过点
,设
的方程为
,
则联立方程组,消去
得
,
设,
,则
又直线与
斜率分别为
,
,
则。
当时,
,
;
当时,
,
。
所以存在定点,使得直线
与
斜率之积为定值。
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