题目内容

如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）d的离心率为
2
2
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4（
2
+1）．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）是否存在常熟λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．
（1）由题意知，椭圆离心率为
c
a
=
2
2
，得a=
2
c，
因为2a+2c=4(
2
+1)，所以可解得2
2
，c=2，所以b2=a2-c2=4，
所以椭圆的标准方程为
x2
8
+
y2
4
=1，
所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），
因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，
所以该双曲线的标准方程为
x2
4
-
y2
4
=1；
（2）设点P（x0，y0），直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2=
y0
x0+2
•
y0
x0-2
=
y02
x02-4
=1，
假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，
则设直线AB的方程为y=k（x+2），直线CD的方程为y=
1
k
（x-2），
y=k（x+2）代入椭圆方程消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2-8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理得x1+x2=-
8k2
2k2+1
，x1x2=
8k2-8
2k2+1

∴|AB|=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
2
(1+k2)
2k2+1
，
同理可得|CD|=
4
2
(1+k2)
k2+2
．
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=
1
|AB|
+
1
|CD|
=
3(k2+1)
4
2
(k2+1)
=
3
2
8
，
∴存在常数λ=
3
2
8
，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
练习册系列答案
相关题目
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且
AP
=
8
5
PQ
．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：x+
3
y+3=0相切，求椭圆C的方程．
在平面直角坐标系中，N为圆C：（x+1）2+y2=16上的一动点，点D（1，0），点M是DN的中点，点P在线段CN上，且
MP
•
DN
=0．
（Ⅰ）求动点P表示的曲线E的方程；
（Ⅱ）若曲线E与x轴的交点为A，B，当动点P与A，B不重合时，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1•k2为定值．
已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+
y2
2
=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-
2
的直线l与C交于A、B两点，点P满足
OA
+
OB
+
OP
=
0
．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
已知椭圆
x2
4
+
y2
2
=1，过程P（1，1）作直线l，与椭圆交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线l的斜率为______．
直线l过x轴上的点M，l交椭圆
x2
8
+
y2
4
=1于A，B两点，O是坐标原点．
（1）若M的坐标为（2，0），当OA⊥OB时，求直线l的方程；
（2）若M的坐标为（1，0），设直线l的斜率为k（k≠0），是否存直线l，使得l垂直平分椭圆的一条弦？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，说明理由．
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=
1
2
，一个顶点的坐标为(0，
3
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M，N两点且
AM
•
AN
=0，试问：是否存在实数λ，使得S△FMN=λS△AMN成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
已知椭圆C1：
x2
4
+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，
OB
=2
OA
，求直线AB的方程．
如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，△MF1F2的面积为4，△ABF2的周长为8
2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点Q的坐标为（1，0），是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF1，PF2都相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．

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