Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），其中（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值并求出取得最值时的x值．

Answer 1

分析 （1）由函数图象观察可知A，函数的周期T=2（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=π，由周期公式可得ω，由点（$\frac{π}{6}$，2）在函数图象上，可得：2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=2，解得φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z结合范围|φ|≤$\frac{π}{2}$，即可求得φ的值．
（2）根据正弦函数的单调递减区间为[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，k∈Z，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的单调递减区间；
（3）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的值域，即可确定出f（x）的最小值与最大值，以及取得最值时x的值．

解答 解：（1）由函数图象观察可知：A=1，…（1分），
函数的周期T=2（$\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}$）=π，由周期公式可得：ω=$\frac{2π}{π}$=2…（2分）
由点（$\frac{π}{6}$，1）在函数图象上，可得：sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=1，可得：φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$…（4分）
函数f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
则f（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；…（6分）
（3）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
则当x=-$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值-$\frac{1}{2}$；当x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值1．…（10分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．