题目内容
【题目】已知函数,无穷数列
的首项
.
(1)如果,写出数列
的通项公式;
(2)如果(
且
),要使得数列
是等差数列,求首项
的取值范围;
(3)如果(
且
),求出数列
的前
项和
.
【答案】(1);(2)
或
;(3)
.
【解析】
(1)化简函数为分段函数,然后求出
.
(2)由是等差数列,求出公差
,首项,然后求解
的范围.
(3)当时,求出前
项和,当
时,当
时,分别求出
项和即可.
解:(1)函数
又且
,
.
(2)因为是等差数列,则
,
,
由分段函数的解析式及等差数列的性质有
,公差
.
当时,有
,符合题意.
当时,
,
由得
,得
,
,
又,则
无解.
当时,
,
由得
,得
,此时
,满足
.
综上所述,可得的取值范围是
或
.
(3)当时,
,
数列
是以
为首项,公差为
的等差数列,
.
当时,
,
时,
.
时,
.
时,
又也满足上式,
当时,
,
时,
.
时,
.
时,
又也满足上式,
.
综上所述:.
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