题目内容
【题目】设(
、
为实常数).
(1)当时,证明:
不是奇函数;
(2)设是奇函数,求
与
的值;
(3)当是奇函数时,研究是否存在这样的实数集的子集
,对任何属于
的
、
,都有
成立?若存在试找出所有这样的
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)或
;(3)存在,
.
【解析】
(1)举出反例即可,只要检验,可说明
不是奇函数;
(2)由题意可得,即
对定义域内任意实数
成立.整理可求
、
;
(3)当时,
,由指数函数的性质可求
,由二次函数的性质可求
,可求当
时,
,当
时,
;当
时,
,结合二次函数的性质可求
的范围,即可求解.
(1)举出反例即可:,
,
,
所以,函数
不是奇函数;
(2)是奇函数时,
,
即对定义域内任意实数
成立.
化简整理得,这是关于
的恒等式,
所以所以
或
,经检验都符合题意;
(2)当时,
,
因为,所以
,
,从而
;
而对任何实数
成立;
所以可取对任何
、
属于
,都有
成立.
当时,
,
所以当时,
;当
时,
;
①因此取,对任何
、
属于
,都有
成立;
②当时,
,解不等式
得:
.
所以取,对任何属于
的
、
,都有
成立.
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