题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,且
在
上存在零点,求实数
的取值范围;
(2)若对任意,存在
使
,求实数
的取值范围;
(3)若存在实数,使得当
时,
恒成立,求实数
的最大值.
【答案】(1);(2)
;(3)10.
【解析】
(1)由时,
,令
,当
时,分离参数
,再令
,得出
的单调性,从而得出
的值域,可得实数a的取值范围;
(2)由得
,即
令
,则
的对称轴为
,由
得对称轴的范围
,从而得
当
的最小值为
,再由
,得
,可得
的范围;
(3)的对称轴为
,根据对称轴与区间
的关系分情况讨论
的单调性,求出最值,根据
列出不等式组,化简得出
的取值范围,从而得到实数
的最大值.
(1)由时,
,令
,当
时,
,
令,则
的定义域为
,设
,则
,
当时,
,当
时,
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,因为
是定义域为
的奇函数,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
当时,
或
,所以
或
,所以要使
在
上存在零点,则需
或
.
故:实数a的取值范围是或
.
(2)由得
,即
令
,则
的对称轴为
,当
时,对称轴
,
所以当时,
的最小值为
,而
,所以
,
所以要使对任意,存在
使
,则需
;
(3)的对称轴为
.
①若,则
在
上单调递增,
,
由,得
,
解不等式组,得
.
②若,即
时,
在
上单调递减,在
单调递增,且
,
.
,即
,得
.
③若,即
时,
在
单调递减,在
单调递增,且
,
,即
,则
.
④若,即
时,
在
上单调递减,
,
,即
,则
.
综上, 的取值范围是
,
的最大值为10.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】当前,以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试,是激发学生、家长和学校积极开展体育活动,保证学生健康成长的有效措施.某地区2019年初中毕业生升学体育考试规定,考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试,三项考试满分为50分,其中立定跳远15分,掷实心球15分,1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况,随机抽取了100名学生进行测试,得到如下频率分布直方图,且规定计分规则如下表:
每分钟跳 绳个数 | |||||
得分 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
(Ⅰ)现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于33分的概率;
(Ⅱ)若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布
,用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差(结果四舍五入到整数),已知样本方差
(各组数据用中点值代替).根据往年经验,该校初三年级学生经过一年的训练,正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步,假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个,利用现所得正态分布模型:
(ⅰ)预估全年级恰好有1000名学生,正式测试时每分钟跳193个以上的人数.(结果四舍五入到整数)
(ⅱ)若在该地区2020年所有初三毕业生中任意选取3人,记正式测试时每分钟跳202个以上的人数为,求随机变量
的分布列和期望.
附:若随机变量服从正态分布
,
,则
,
,