Question

2．过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，|AB|=8p，且S_△AOB=4，则p的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 设出过抛物线C焦点F的直线方程以及直线与抛物线的交点坐标，由|AB|=|AF|+|BF|=8p，求出直线AB的方程，再由△AOB的面积求出p的值．

解答 解：∵抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），
∴设过抛物线C焦点F的直线方程为：y=k（x-$\frac{p}{2}$），
且直线l交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
∴|AB|=|AF|+|BF|=（x₁+$\frac{p}{2}$）+（x₂+$\frac{p}{2}$）=x₁+x₂+p=8p，
∴x₁+x₂=7p；
又直线与抛物线联立，得$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=k（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，
消去y，得k²x²-（k²+2）px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{{（k}^{2}+2）p}{{k}^{2}}$；
即$\frac{{（k}^{2}+2）p}{{k}^{2}}$=7p，
∴k²=$\frac{1}{3}$，
不妨取k=$\frac{1}{\sqrt{3}}$；
则原点O到直线AB：kx-y-$\frac{kp}{2}$=0的距离为
d=$\frac{\frac{kp}{2}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\frac{p}{2\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}}$=$\frac{p}{4}$，且|AB|=8p，
∴△AOB的面积为
S_△AOB=$\frac{1}{2}$•d•|AB|=$\frac{1}{2}$•$\frac{p}{4}$•8p=4，
解得p=±2，应取p的值为2．
故选：B．

点评 本题考查了直线与抛物线的应用问题，也考查了方程组思想以及根与系数的应用问题，考查了三角形面积的计算问题，是综合性题目．