Question

14．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆右顶点到直线x+y+$\sqrt{3}$=0的距离为$\sqrt{6}$，离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知A为椭圆与y轴负半轴的交点，设直线l：y=x+m，是否存在实数m，使直线l与椭圆有两个不同的交点M、N，是|AM|=|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆右顶点到直线x+y+$\sqrt{3}$=0的距离为$\sqrt{6}$，离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求出a，b，即可求解椭圆方程；
（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，中点为P，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式求出m的范围，通过中点坐标，以及|AM|=|AN|，求出m的值，判断即可．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆右顶点到直线x+y+$\sqrt{3}$=0的距离为$\sqrt{6}$，离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{|a+\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{6}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，
∴b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设P为弦MN的中点．联立直线l：y=x+m与椭圆得4x²+6mx+3m²-3=0，
由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，
解得：-2＜m＜2．
由韦达定理可知：P（-$\frac{3m}{4}$，$\frac{m}{4}$）．
∴k_AP=$\frac{\frac{m}{4}+1}{\frac{3m}{4}}$，
又|AM|=|AN|，
∴AP⊥MN，则$\frac{\frac{m}{4}+1}{\frac{3m}{4}}$=-1，即m=2，
∵-2＜m＜2．
∴不存在实数m使|AM|=|AN|．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，存在性问题的解题策略，难度比较大，注意m的范围是易错点．