题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,点
,直线
,圆
:
.
(Ⅰ)求的取值范围,并求出圆心坐标;
(Ⅱ)若圆的半径为1,过点
作圆
的切线,求切线的方程;
(Ⅲ)有一动圆的半径为1,圆心在
上,若动圆
上存在点
,使
,求圆心
的横坐标
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)的取值范围为
,圆心
坐标为
;(Ⅱ)
;(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)把圆的方程配成标准式,方程右边需大于零,即可求得参数的取值范围。
(Ⅱ)已知圆的圆心坐标为
,当半径为1时,可求得圆的标准方程;用待定系数法求过圆外一点的切线方程,分析直线的斜率存在与否,如存在设斜率为
,利用圆心到直线的距离等于半径即可得到方程,解得
.
(Ⅲ)设出圆心的坐标,表示出圆的方程,进而根据
,点
在
的中垂线上,由
坐标已知,从而可求
的中垂线方程,根据
在圆上,进而确定不等式关系求得
的范围.
(Ⅰ) 化为
由,∴
的取值范围为
,圆心
坐标为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知圆的圆心
的坐标为
,当半径为1时,
圆的方程为:
将
代入
得,∴
在圆
外,
设所求圆的切线方程为
,∴
∴∴
∴ ∴所求圆
的切线方程为:
即.
(Ⅲ)∵圆的圆心在直线
上,所以,设圆心
,又半径为1,
则圆的方程为:
,
又∵,
∴点在
的中垂线
上,
的中点
得直线
:
∴点应该既在圆
上又在直线
上,即:圆
和直线
有公共点
∴ ,∴
终上所述,
的取值范围为:
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