题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,点,直线,圆.

(Ⅰ)求的取值范围,并求出圆心坐标;

(Ⅱ)若圆的半径为1,过点作圆的切线,求切线的方程;

(Ⅲ)有一动圆的半径为1,圆心在上,若动圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.

【答案】(Ⅰ)的取值范围为,圆心坐标为;(Ⅱ) ;(Ⅲ)

【解析】

(Ⅰ)把圆的方程配成标准式,方程右边需大于零,即可求得参数的取值范围。

(Ⅱ)已知圆的圆心坐标为,当半径为1时,可求得圆的标准方程;用待定系数法求过圆外一点的切线方程,分析直线的斜率存在与否,如存在设斜率为,利用圆心到直线的距离等于半径即可得到方程,解得.

(Ⅲ)设出圆心的坐标,表示出圆的方程,进而根据的中垂线上,由坐标已知,从而可求的中垂线方程,根据在圆上,进而确定不等式关系求得的范围.

(Ⅰ) 化为

,∴ 的取值范围为,圆心坐标为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知圆的圆心的坐标为,当半径为1时,

的方程为: 代入

,∴在圆外,

设所求圆的切线方程为,∴

∴所求圆的切线方程为:

.

(Ⅲ)∵圆的圆心在直线上,所以,设圆心,又半径为1,

则圆的方程为:

又∵

∴点的中垂线上,的中点得直线:

∴点应该既在圆上又在直线上,即:圆和直线有公共点

,∴ 终上所述, 的取值范围为:

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