题目内容
【题目】在平面四边形
中， 
， 
，将
沿
折起，使得平面
平面
，如图．
（1）求证： 
；
（2）若
为
中点，求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【解析】试题分析：(1)由
,将
沿
折起，使得平面
平面
,即可得AB垂直于平面BCD.从而得到结论.
(2)依题意,可得
,又由
平面BCD.如图建立直角坐标系. 求直线
与平面
所成角的正弦值.等价于求出直线
与平面
的法向量所成的角的余弦值.写出相应的点的坐标以及相应的向量,求出法向量即可得到结论.
试题解析：(1)因为
平面
,平面
平面
平面
所以
平面
又
平面
所以
.
(2)过点
在平面
内作
,如图.由(1)知
平面
平面
平面
所以
.以
为坐标原点,分别以
的方向为
轴, 
轴, 
轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得
.则
.设平面
的法向量
.则
即
.取
得平面
的一个法向量
.设直线
与平面
所成角为
,则
即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
【题目】某水产养殖基地要将一批海鲜用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由水产养殖基地承担．若水产养殖基地恰能在约定日期（×月×日）将海鲜送达，则销售商一次性支付给水产养殖基地
万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给水产养殖基地
万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给水产养殖基地
万元．为保证海鲜新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送海鲜，已知下表内的信息：
汽车 行驶路线 | 不堵车的情况下到达城市乙所需时间（天） | 堵车的情况下到达城市乙所需时间（天） | 堵车的概率 | 运费（万元） |
公路 |
|
|
|
|
公路 |
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|
|
|
（注：毛利润
销售商支付给水产养殖基地的费用
运费）
（Ⅰ）记汽车走公路
时水产养殖基地获得的毛利润为
（单位：万元），求
的分布列和数学期望
．
（Ⅱ）假设你是水产养殖基地的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能让水产养殖基地获得的毛利润更多？
