题目内容
【题目】已知两个定点,
, 动点
满足
,设动点
的轨迹为曲线
,直线
:
.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)若与曲线
交于不同的
、
两点,且
(
为坐标原点),求直线
的斜率;
(3)若,
是直线
上的动点,过
作曲线
的两条切线
、
,切点为
、
,探究:直线
是否过定点,若存在定点请写出坐标,若不存在则说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)设点的坐标为
,根据
列出方程化简,即可求解轨迹方程;
(2)依题意知,且
,则点
到边
的距离为1,列出方程,即可求解;
(3)根据题意,,则
都在以
为直径的圆
上,
是直线
上的动点,设
,联立两个圆的方程,即可求解.
(1)由题,设点的坐标为
,
因为,即
,
整理得,
所以所求曲线的轨迹方程为
.
(2)依题意,,且
,
由圆的性质,可得点到边
的距离为1,
即点到直线
的距离为
,解得
,
所以所求直线的斜率为
.
(3)依题意,,则
都在以
为直径的圆
上,
是直线
上的动点,设
,
则圆的圆心为
,且经过坐标原点,
即圆的方程为,
又因为在曲线
上,
由,可得
,
即直线的方程为
,
由且
,可得
,解得
,
所以直线过定点
.
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