题目内容
【题目】四棱锥
中，底面
是边长为2的菱形，
.
,且
平面，
，点
分别是线段
上的中点，
在
上.且
.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.
【答案】（1）见解析（2）
（3）四边形
为平面
与四棱锥的表面的交线
【解析】分析：（Ⅰ）推导出
，由此能证明
平面；
（Ⅱ）推导出
，
，
，以O为原点，OA、OB、OP分别为x、y、z轴建立空间直角做消息，利用向量法能求出直线AB与平面EFG的所成角的正弦值；
（Ⅲ）法1：延长
分别交
延长线于
，连接，发现刚好过点
，,连接
，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线.
法2：记平面与直线
的交点为
，设
，，利用向量法求出
，从而即为点.连接
，
，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线.
解析：解:（Ⅰ）在
中，因为点
分别是线段
上的中点，
所以
因为
平面，
平面.
所以平面.
（Ⅱ）因为底面
是边长为2的菱形，
所以，
因为
平面，
所以，，
如图，建立空间直角坐标系，则依题意可得
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
， 
设平面的法向量为
，则由
可得
，
令
，可得
因为
.
所以直线
与平面的成角的正弦值为
（Ⅲ）法Ⅰ：延长分别交延长线于，连接，发现刚好过点，,连接，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线.
法2：记平面与直线的交点为，设，则
由
，可得.
所以即为点.
所以连接，，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线.
【题目】由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下：
5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：
步数分组统计表（设步数为
）
组别 | 步数分组 | 频数 |
|
| 2 |
|
| 10 |
|
|
|
|
| 2 |
|
|
|
（Ⅰ）写出
的值，并回答这20名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在哪个组别；
（Ⅱ）记
组步数数据的平均数与方差分别为
,
,
组步数数据的平均数与方差分别为
，
，试分别比较与以，与
的大小；(只需写出结论)
（Ⅲ）从上述
两个组别的数据中任取2个数据，记这2个数据步数差的绝对值为
，求的分布列和数学期望.
