Question

12．已知函数$f（x）=\frac{x}{4}+\frac{5}{4x}-lnx-\frac{3}{2}$．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，切点的坐标，可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{x}{4}+\frac{5}{4x}-lnx-\frac{3}{2}$，…（2分）
得f′（1）=-2又f（1）=0…（3分）
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=-2（x-1），即2 x+y-2=0．…（5分）
（2）函数$f（x）=\frac{x}{4}+\frac{5}{4x}-lnx-\frac{3}{2}$的定义域为（0，+∞）．
由$f'（x）=\frac{1}{4}-\frac{5}{{4{x^2}}}-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-4x-5}}{{4{x^2}}}$，
令f'（x）=0，解得x=-1或x=5．
因x=-1不在f（x）的定义域（0，+∞）内，故舍去．…（7分）
当x∈（0，5）时，f'（x）＜0，故f（x）在（0，5）内为减函数；
当x∈（5，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（5，+∞）内为增函数；
由此知函数f（x）在x=5时取得极小值f（5）=-ln5．…（10分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值，正确求导是关键．