题目内容

7.设数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=2-Sn(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3,a4的值并写出其通项公式;
(2)根据(1)中写出的通项公式,用三段论证明数列{an}是等比数列.

分析 (1)根据数列的递推关系即可求a1,a2,a3,a4的值并写出其通项公式;
(2)根据等比数列的定义结合三段论进行证明.

解答 解:(Ⅰ)由an=2-Sn,得a1=1;${a_2}=\frac{1}{2}$;${a_3}=\frac{1}{4}$;${a_4}=\frac{1}{8}$,
猜想${a_n}={(\frac{1}{2})^{n-1}}$(n∈N*).                      …(5分)
(Ⅱ)因为通项公式为an的数列{an},若$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=p$,p是非零常数,
则{an}是等比数列;…大前提
因为通项公式${a_n}={(\frac{1}{2})^{n-1}}$,又$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{1}{2}$;…小前提
所以通项公式${a_n}={(\frac{1}{2})^{n-1}}$的数列{an}是等比数列.…结论…(12分)

点评 本题主要考查等比数列的判断,以及利用三段论进行证明,考查学生的推理能力.

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