Question

17．实系数一元二次方程x²+ax+2b=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，则$\frac{b-3}{a-1}$的取值范围是（　　）

• A． [1，3]
• B． （1，3）
• C． $[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$
• D． $（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$

Answer 1

分析 设f（x）=x²+ax+2b，根据二次函数的性质与零点存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立关于a、b的二元一次不等式组，设点E（a，b）为区域内的任意一点，根据直线的斜率公式可得k=$\frac{b-3}{a-1}$表示D（1，3）、E连线的斜率，将点E在区域内运动并观察直线的倾斜角的变化，即可算出k=$\frac{b-3}{a-1}$的取值范围

解答 解：（1）设f（x）=x²+ax+2b，
∵方程x²+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，
∴可得$\left\{\begin{array}{l}f（0）＞0\\ f（1）＜0\\ f（2）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2b＞0\\ 1+a+2b＜0\\ 4+2a+2b＞0\end{array}\right.$．
作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，
得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）．

其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0），
设点E（a，b）为区域内的任意一点，
则k=$\frac{b-3}{a-1}$，表示点E（a，b）与点D（1，3）连线的斜率
∵k_AD=$\frac{3-1}{1+3}$=$\frac{1}{2}$，k_CD=$\frac{3-0}{1+1}$=$\frac{3}{2}$，结合图形可知：k_AD＜k_CD，
∴$\frac{b-3}{a-1}$的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
故选：D．

点评 本题给出含有参数a、b的一元二次方程满足的条件，求参数a、b满足的不等式组，并依此求关于a、b式子的取值范围．着重考查了二次函数的性质、零点存在性定理、二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式与两点间的距离公式等知识，属于中档题．