题目内容
12.已知向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$,且|${\overrightarrow b}$|=2,$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$,则|${t\overrightarrow b+(1-2t)\overrightarrow a}$|(t∈R)的最小值为1.分析 由$|{\overrightarrow b}$|=2,不妨取$\overrightarrow{b}$=(2,0),设$\overrightarrow{a}$=(x,y),由$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$,可得$\overrightarrow{a}$=(1,y),则f(t)=$\sqrt{1+[(1-2t)y]^{2}}$,即可得出.
解答 解:由$|{\overrightarrow b}$|=2,不妨取$\overrightarrow{b}$=(2,0),
设$\overrightarrow{a}$=(x,y),
∵$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$,
∴2x=2,解得x=1.
∴$\overrightarrow{a}$=(1,y),
∴${t\overrightarrow b+(1-2t)\overrightarrow a}$=(1,(1-2t)y)
则f(t)=|${t\overrightarrow b+(1-2t)\overrightarrow a}$|=$\sqrt{1+[(1-2t)y]^{2}}$≥1,当且仅当(1-2t)y=0时取等号.
故答案为:1.
点评 本题考查了向量数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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