Question

已知椭圆方程为，P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．
（Ⅰ）求M点的轨迹T的方程；
（Ⅱ）已知、，试探究是否存在这样的点：是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N,连结OM，

∵, ∴≌∴M是线段的中点，|，
∴= ==
∵点P在椭圆上
∴＝   ∴＝4，
当点P在x轴上时，M与P重合
∴M点的轨迹T的方程为：．
（Ⅱ）连结OE，易知轨迹T上有两个点

A，B满足,
分别过A、B作直线OE的两条平行线、.
∵同底等高的两个三角形的面积相等
∴符合条件的点均在直线、上.
∵  ∴直线、的方程分别为：
、
设点（）∵在轨迹T内，∴
分别解与，得与
∵∴为偶数，在上对应的
在上，对应的
∴满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：
．

略