题目内容

(本小题满分12分)
如图,设是椭圆的左焦点,直线为对应的准线,直线轴交于点,为椭圆的长轴,已知,且
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求证:对于任意的割线,恒有
(3)求三角形△ABF面积的最大值.

解(1)∵,∴
又∵,∴
,∴椭圆的标准方程为.     ………(3分)
(2)当的斜率为0时,显然=0,满足题意,
的斜率不为0时,设方程为
代入椭圆方程整理得:





,从而
综合可知:对于任意的割线,恒有.        ………(8分)
(3)
即:
当且仅当,即(此时适合于的条件)取到等号.
∴三角形△ABF面积的最大值是.………(12分)
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