题目内容
(本小题满分12分)
如图,设是椭圆的左焦点,直线为对应的准线,直线与轴交于点,为椭圆的长轴,已知,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求证:对于任意的割线,恒有;
(3)求三角形△ABF面积的最大值.
如图,设是椭圆的左焦点,直线为对应的准线,直线与轴交于点,为椭圆的长轴,已知,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求证:对于任意的割线,恒有;
(3)求三角形△ABF面积的最大值.
解(1)∵,∴,
又∵,∴,
∴,∴椭圆的标准方程为. ………(3分)
(2)当的斜率为0时,显然=0,满足题意,
当的斜率不为0时,设方程为,
代入椭圆方程整理得:.
,,.
则
,
而
∴,从而.
综合可知:对于任意的割线,恒有. ………(8分)
(3),
即:,
当且仅当,即(此时适合于的条件)取到等号.
∴三角形△ABF面积的最大值是.………(12分)
略
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