Question

9．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ，设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$．
（1）证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=2a_n+2ⁿ、b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，计算、整理可得b_n+1=1+b_n，进而可得结论；
（2）通过（1）可知数列{b_n}的通项公式，利用b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$计算可得结论；
（3）通过a_n=n•2^n-1写出S_n、2S_n的表达式，利用错位相减法计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=2a_n+2ⁿ，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，
∴b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}$=$\frac{2{a}_{n}+{2}^{n}}{{2}^{n}}$=1+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=1+b_n，
即b_n+1-b_n=1，
∴数列{b_n}是公差为1的等差数列；
（2）解：∵a₁=1，
∴b₁=$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1-1}}$=a₁=1，
∴b_n=1+（n-1）=n，
∴a_n=2^n-1•b_n=n•2^n-1；
（3）解：∵a_n=n•2^n-1，
∴S_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，
2S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
两式相减得：-S_n=2⁰+2¹+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ
=（1-n）•2ⁿ-1，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．