Question

18．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-2，0）、B（0，$-2\sqrt{2}$），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，设圆M是△ABC的外接圆，若DE是圆M的任意一条直径，试探究$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PE}$是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 先求出圆M的方程，再设过圆心M的任意一直线为x=my+1与圆的方程联立，利用向量的数量积公式，即可得出结论．

解答 解：由题意，△AOB∽△BOC，∴$\frac{{|{AO}|}}{{|{BO}|}}$=$\frac{{|{BO}|}}{{|{CO}|}}$，
∴|CO|=4 …（2分）
∴C（4，0），AC中点为M（1，0），半径为3
∴圆M的方程（△ABC的外接圆）为（x-1）²+y²=3²…（4分）
设过圆心M的任意一直线为x=my+1，…（5分）
∴$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{{（x-1）}^2}+{y^2}=9}\end{array}}\right.$
∴（m²+1）y²=9…（7分）
设直线x=my+1与圆（x-1）²+y²=9的两个交点为D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
则$\overrightarrow{PE}$=（x₁+1，y₁），$\overrightarrow{PD}$=（x₂+1，y₂），
∴$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PD}$=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（my₁+2）（my₂+2）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+4…（9分）
由（m²+1）y²=9，得${y_1}{y_2}=-\frac{9}{{{m^2}+1}}$代入上式$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PD}$=-9+4=-5…（11分）
当ED为横轴时，D（-2，0），E（4，0），$\overrightarrow{PD}$=（-1，0），$\overrightarrow{PE}$=（5，0）
∴$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PD}$=-5…（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．