Question

14．已知f（x）=tanx+cos（x+m）为奇函数，则m=$\frac{π}{2}+kπ（{k∈Z}）$，；若m满足不等式$\frac{{m}^{2}-9}{m（m-1）}$≤0，则实数m的值为$±\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质利用f（0）=0进行求解即可．结合分式不等式的解法进行计算即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为（kπ-$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z，
若函数f（x）是奇函数，则f（0）=0，
即tan0+cosm=0，
即cosm=0，
则m=$\frac{π}{2}+kπ（{k∈Z}）$，
由$\frac{{m}^{2}-9}{m（m-1）}$≤0得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-9≥0}\\{m（m-1）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-9≤0}\\{m（m-1）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≥3或m≤-3}\\{0＜m＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-3≤m≤3}\\{m＞1或m＜0}\end{array}\right.$，
即1＜m≤3或-3≤m＜0，
∵m=$\frac{π}{2}+kπ（{k∈Z}）$，
∴m=$±\frac{π}{2}$，
故答案为：$\frac{π}{2}+kπ（{k∈Z}）$，$±\frac{π}{2}$

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及分式不等式的解法，利用三角函数的性质是解决本题的关键．