题目内容
如图,三棱柱中,侧棱与底面垂直,,,分别是的中点
(1)求证:∥平面;
(2)求证:⊥平面;
(3)求三棱锥的体积的体积.
(1)求证:∥平面;
(2)求证:⊥平面;
(3)求三棱锥的体积的体积.
(1)证明过程详见解析;(2)证明过程详见解析;(3).
试题分析:本题主要以三棱柱为几何背景考查线面平行、线面垂直和几何体体积等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问,先根据题意作出辅助线,在中,利用中位线的性质得,再由线面平行的判定,得证;第二问,由已知条件可以判断四边形是正方形,所以对角线互相垂直,所以,又由于第一问得,所以,再由已知证即可,由已知边长,得,所以,所以为等腰三角形,而为中点,所以为高,得证,再利用线面垂直的判定即可得证;第三问,利用等体积法将三棱锥进行转化,找到已知条件求体积.
试题解析:(1)证明:连结,显然过点
∵分别是的中点, ∴,
又平面,平面,∴平面,
(2)∵三棱柱中,侧棱与底面垂直,,
∴四边形是正方形,∴,
由(1)知,∴,
连结,由,知,
∴,又易知是的中点,∴,
∴平面.
(3)因为,所以三棱锥与三棱锥的体积相等,
故.
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